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3 Orthocentres

Coordonnées barycentriques des pieds de céviennes

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FIG. 5: AA′,BB′ et CC′ sont les céviennes passant par P.

Notons (u,v,w) les coordonnées barycentriques d’un point P de E par rapport au triangle Δ : on a u + v + w = 1 et

P = uA + vB + wC.

Les coordonnées barycentriques des pieds A′,B′,C′ des céviennes passant par P sont alors données par

( ′ v w |{ A = v+w-B + v+wC B ′ = -w--C + -u-A |( w+u w+u C ′ = uu+v-A + uv+v-B
(6)

Il suffit de vérifier la première. Les autres seront vraies par symétrie. Le point A′ ainsi décrit appartient au segment [B,C] puisqu’il est combinaison affine de ses extrémitiés B et C. D’autre part, puisque

--A→A ′ = --1---AP→ , v + w

A′ appartient aussi à la cévienne AP.

Coordonnées barycentriques d’un orthocentre Déterminons à présent les coordonnées barycentriques de l’orthocentre H du triangle Δ relatif à un produit scalaire g.

Proposition 3.1 Les coordonnées barycentrique de l’orthocentre du triangle Δ de (E,g) sont
(p - r )(q - r) r(q - r) r(p - r) (---------2---, ------2-,------2-) = (cotβ cotγ,cot γ cot α,cot αcot β). pq - r pq - r pq - r

Preuve. Pour les expressions (u,v,w) en termes des nombres p,q,r, on observe d’abord que u + v + w = 1. Ensuite, on vérifie directement que chaque cévienne passant par le point ayant les coordonnées (u,v,w) proposées est perpendiculaire au côté opposé au sommet dont elle est issue. Il suffit même de le vérifier pour deux, par exemple BB′ et CC′. En utilisant (1) et les relations (6), il vient
g(--B→B ′,-A→C ) = --w---g(-B-→C, -A→C ) + --u---g(-B→A, -A→C ) = w-(q --r-) --ur-= 0. w + u w + u w + u

Ainsi, BB′⊥ AC. Vu la symétrie des expressions en p et q, on a alors automatiquement CC′⊥ AB.

Il reste à exprimer (u,v,w) au moyen des angles de Δ. On utilise pour cela les formules (2), (4) et (5). Illustrons le calcul dans le cas de u, les autres étant analogues :

2 u = (ac-cosβ)(ab-cosγ) = -a-bc-cosβ-cosγ---= cot β cotγ 4S2 (acsinβ )(ab sin γ)

puisque 2S = ac sin β = ab sin γ. D’où la propriété.

Le lieu des orthocentres

Proposition 3.2 Le point P de coordonnées barycentriques (u,v,w) par rapport à Δ est un orthocentre de Δ si et seulement si P est un des sommets de Δ ou uvw > 0.

Comme on l’a expliqué dans l’introduction, ceci est équivalent à la propriété suivante.

Proposition 3.3 Soit un produit scalaire g de

-→E . Les positions relatives des orthocentres des triangles de (E,g) sont décrites par les coordonnées barycentriques (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1) correspondant aux triangles rectangles, ainsi que par les coordonnées barycentriques (u,v,w) vérifiant uvw > 0.

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FIG. 6: Le lieu des orthocentres du triangle (A,B,C) est représenté en gris. Il comprend les sommets du triangle.

Preuve. (De 3.2.) Vu la Proposition 3.1, les coordonnées barycentriques d’un orthocentre de Δ vérifient uvw ≥ 0. De plus, ce produit est nul si et seulement si r = 0, q = r ou p = r, c’est-à-dire si et seulement si Δ est rectangle en A, B ou C respectivement. Inversement, si les coordonnées barycentriques (u,v,w) vérifient uvw > 0, alors il existe un produit scalaire g pour lequel

(| u = (p-r)(q-r) |{ pq-r2 v = r(q-r2) ||( rpq(-pr-r) w = -pq--r2

Ces relations impliquent en effet que

u u p = (1 + --)r, q = (1 +--)r. v w

Les coordonnées (u,v,w) étant homogènes en p,q et r, ces derniers ne sont définis qu’à un multiple près (conformément au fait que la position relative de l’orthocentre est invariante par similitude). Les valeurs de p et q ci-dessus conviennent donc à condition de pouvoir choisir r pour que p,q,r vérifient les conditions p > 0 et pq - r2 > 0. Elles garantissent en effet que les formules (1) définissent un produit scalaire. La condition p > 0 détermine le signe de r, qui ne peut être nul. D’autre part, avec les valeurs de p et de q ci-dessus, on a

u pq - r2 = ---r2 > 0. vw

D’où la thèse.

Le lieu des orthocentres du triangle Δ est illustré à la figure 6. Pour rappel, en effet, les signes des coordonnées barycentriques sont distribués comme indiqués sur la figure 7.

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FIG. 7: Le signe des coordonnées barycentriques par rapport à (A,B,C).

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FIG. 8: Le lieu du centre des cercles circonscrits au triangle est dessiné en gris.

Les point intérieurs au triangles correspondent aux orthocentres des triangles acutangles et les sommets de Δ aux triangles rectangles. Enfin, les autres positions sont relatives aux triangles ayant un angle obtus : Δ est obtus en A dans la région (+ --), etc.

Corollaire 3.4 Le lieu du centre des cercles circonscrits au triangle Δ est formé des milieux des côtés de Δ et des points de coordonnées barycentriques (u,v,w) vérifiant (1 - 2u)(1 - 2v)(1 - 2w) > 0.

Preuve. En effet, le centre de gravité de Δ est indépendant du produit scalaire. Il est par ailleurs le centre d’une homothétie, de rapport -1∕2, qui applique l’orthocentre sur le centre du cercle circonscrit. Elle applique aussi les sommets du triangle sur les milieux des côtés opposés. Si les coordonnées barycentriques de l’orthocentre sont (u,v,w), le centre O du cercle circonscrit s’écrit alors

O = u B-+-C--+ vC--+-A-+ w A-+-B-. 2 2 2

Ses coordonnées barycentriques sont donc ((v + w)∕2, (w + u)∕2, (u + v)∕2). La conclusion est aisée.

Où il est question du nombre d’or Rappelons que gX désigne le produit scalaire pour lequel un triangle donné est rectangle en son sommet X, les côtés issus de ce sommet étant de longueur 1.

L’ensemble des produits scalaires de

-→ E étant convexe, nous obtenons une famille de produits scalaires en posant

gt = (1 - t)gB + tgC

avec t ∈ [0, 1]. Cette famille décrit le segment [gB,gC] contenu dans H+(

-→ E ). Cependant, ce dernier étant ouvert, il contient un plus grand segment de la droite joignant gB à gC.

Proposition 3.5 La forme bilinéaire gt = (1 - t)gB + tgC est un produit scalaire de

-→ E si et seulement si t ∈] - 1∕φ,φ[, où

1 + √5-- φ = ------- 2

est le nombre d’or.

Preuve. En utilisant les formules (2), (3) et (4), nous voyons immédiatement que

( ) ( ) GgB = 1 1 et GgC = 2 1 ⋅ 1 2 1 1

Par conséquent

( ) Ggt = 1 + t 1 ⋅ 1 2 - t

Cette matrice représente un produit scalaire si et seulement si 1 + t > 0 et det Ggt > 0. Cette dernière condition s’écrit t2 - t - 1 < 0. Elle signifie que t est strictement compris entre les racines de l’équation t2 -t- 1 = 0, qui sont -1∕φ et φ. Comme -1∕φ > -1, la propriété est démontrée.

Vu les formules (4), on voit que, dans (E,gt), le triangle Δ est obtus en B si t < 0 et en C si t > 1.

Proposition 3.6 Le lieu de l’orthocentre de Δ lorsque t décrit ]-1∕φ,φ[ est une branche d’hyperbole. Cette hyperbole admet les directions de BC et de la médiane AA′ de Δ comme directions conjuguées(3). Son centre est le point

1--→′ A + -AA 5

et elle coupe AA′ en A et en

A + 2-A-A→′ 5

Elle passe par B et par C.

Preuve. En remplaçant p,q,r par les valeurs 1 + t, 2 - t, 1 dans l’expression des coordonnées barycentriques de l’orthocentre, on obtient une description paramétrique du lieu. En passant au repère d’origine A et de base (

-→ AB ,

-→ AC ), on en déduit des équations paramétriques cartésiennes :

1 - t t x = --2-------- et y = --2--------⋅ - t + t + 1 - t + t + 1

L’élimination est facile et conduit à l’équation cartésienne

x2 + 3xy + y2 - x - y = 0

qu’on analyse facilement.

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